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Die Nyquist-Linie
oder
Welche Auflösung können digitale Bildsensoren erreichen?

In der Ausgabe 4/2013 der Zeitschrift ColorFoto finden sich auf Seite 31 unter anderem folgende Aussagen über die Testergebnisse der Leica M Monochrom, einer Kamera mit 18 Megapixel Sensor, der 3472 Pixel pro Bildhöhe aufweist:

"Die Auflösungskurven schneiden die Nyquist-Linie auf einem hohen Niveau… Die gemessene Auflösung beträgt konstant über 2000 LP/BH [Linienpaare pro Bildhöhe] … [Damit] kann sich die Leica M durchaus mit einer Hasselblad mit 40-Megapixel-Sensor messen.".

Auf der nächsten Seite werden diese Ergebnisse in einer umfangreichen Tabelle detailliert dargestellt: 2083 LP/BH Auflösung durchgehend von 160 bis 10000 ISO. Ein grandioser Erfolg deutscher Ingenieurskunst.

Man stellt sich zwangsläufig die Frage, wie scharf diese ominöse "Nyquist-Linie" eigentlich ist? Offenbar gilt die Grenze für moderne Kameras gar nicht mehr, wenn sie auf hohem Niveau geschnitten werden kann. War dieser Herr Nyquist so blöd oder wusste er es nicht besser? Wahrscheinlich findet demnächst ein anderer, schlauerer Mensch eine "Meier-Grenze", die viel höher liegt. Und in einigen Jahren gibt es womöglich gar keine Grenze mehr, weil die Technik sich weiterentwickelt hat.

Nun, schauen wir zunächst einmal, was das Nyquist-Limit (auch
Nyquist-Shannon-Abtasttheorem genannt) anschaulich bedeutet. Weiter unten gehe ich dann ausführlich auf die Fehler ein, die in dem fraglichen ColorFoto Artikel gemacht worden sind.

Eine ausführliche, wissenschaftliche Abhandlung über die optischen Messverfahren und insbesondere zu den systematischen Abweichungen des von ColorFoto eingesetzten S-SFR Messverfahrens kann
hier heruntergeladen werden.
Ein digitaler Sensor besteht aus einer Matrix von horizontalen und vertikalen Pixeln, also kleinsten Helligkeitsdetektoren. Weil die Bildbreite je nach Sensorhersteller und Kamera schwankt, hat man sich vor langer Zeit darauf geeinigt, die Bildauflösung rein auf die senkrechte Achse zu beziehen.
Es reicht für unsere Zwecke daher aus, eine einzelne Spalte von Pixeln zu betrachten. Im Falle der hier getesteten Kamera sind das genau 3472 Stück. Zur Veranschaulichung nehmen wir aber weniger Helligkeitsdetektoren, und zwar nur 6, was zum Verständnis des Prinzips völlig ausreicht.

Jeder dieser Detektoren oder Pixel kann (genau) einen Helligkeitswert erfassen, der nach der Messung von einer elektronischen Schaltung in eine Zahl transformiert wird. Je nach Ausführung des Sensors umfasst der Wertebereich zum Beispiel Zahlen von 0 (ganz dunkel) über 128 (mittleres Grau) bis 255 (strahlendes Weiß).

Jetzt wollen wir die Auflösung unseres Beispielsensors ermitteln und fotografieren dazu ein Muster aus abwechselnd schwarzen und weißen Linien. Die Detektoren, welche eine helle Linie sehen, liefern einen hohen Zahlenwert zurück und die Detektoren, welche eine dunkle Linie sehen einen niedrigen.

The Nyquist-Limit
or
The highest resolution camera sensors can achieve

In issue 4/2013 of the German photo magazine ColorFoto on page 31 the following statements can be found about the test results of the Leica M Monochrome, a camera with a 18 megapixels sensor and 3472 pixels per picture height:

"The resolution curves intersect the Nyquist line at a high level ... The measured resolution is constant over 2000 LP / PH [line pairs per picture height] ... [With this result] the Leica M measures quite well against a Hasselblad with 40-megapixel sensor." .

On the next page, these results are presented in detail in a large table: 2083 LP / PH resolution over the whole ISO range from 160 to 10,000. A grandiose victory of German engineering.

This inevitably raises the question of how serious this ominous "Nyquist line" actually is? Obviously, this limit is not very relevant for today's cameras when it can be crossed at a high level. Was this Nyquist a stupid person or didn't he know better? Probably soon another, more clever man will find a much higher "Meier-border". And in some years there is probably no longer any limit, because technology has evolved far enough.

Well, let's see what this Nyquist limit (also called
Nyquist-Shannon sampling theorem) really is. At the end I will explain in detail the errors of the ColorFoto magazine test.

A thorough, scientific paper on the optical test procedures and the systematical deviations of the S-SFR method, which was used by ColorFoto,
can be found here.
A digital sensor consists of a matrix of horizontal and vertical pixels, i.e. small brightness detectors (sometimes referred to as sensels: sensor elements). Because the image width varies depending on sensor and camera manufacturer, it has been agreed upon long ago to refer resolution purely to the vertical axis.
Therefore, it is enough for our purposes to consider just one single column of pixels. In the case of the tested camera there are exactly 3472 brightness sensors vertically. For illustration we reduce the number of pixels to only 6, which is sufficient for a complete understanding of the principle.

Each of these brightness detectors or pixels can measure one brightness value which is then transformed by an electronic circuit into a number. Depending on the design of the sensor the value ranges for example from 0 (darkest) over 128 (medium gray) to 255 (bright white).

Now we want to determine the resolution of our sample sensor by photographing a pattern of alternating black and white lines. The brightness detectors (sensor elements), which can see a bright line, provide a high return value, and the detectors, which can see a dark line, provide a low value.

Die sechs Helligkeitsdetektoren unseres Bildsensors (blaue Quadrate in der Mitte) sehen die Helligkeitswerte des links gezeigten Originalbildes.
Die ersten beiden Detektoren erkennen jeweils eine weiße Fläche und liefern daher den Zahlenwert 255 (hell) zurück.
Die nächsten beiden Detektoren schauen auf eine schwarze Fläche und haben daher den Helligkeitswert 0.
Der fünfte Detektor von oben überdeckt zur Hälfte eine dunkle und eine helle Linie. Er liefert daher den Mittelwert von dunkel (0) und hell (255) zurück, also mittleres Grau (128).
Im aufgezeichneten Bild (rechts) erkennt man die drei Linien des Originalbildes wieder, allerdings ist durch den Versatz beim fünften Detektor eine leichte Unschärfe entstanden
.
The six brightness detectors of our image sensor (the blue squares in the middle) see the brightness values ​​of the original image shown on the left.
The first two detectors each see a white surface, and therefore return the numerical value 255 (full bright).
The next two detectors look on a black surface and therefore return the brightness value 0.
The fifth detector from above covers half of a dark and a bright line. It returns the average from dark (0) and light (255), i.e. medium gray (128).
The recorded image (on the right) reproduces the three lines of the original image, but the offset in the fifth detector causes a slight blur.
Stacks Image 7176
Jetzt verfeinern wir die Struktur unserer Linien und machen sie so schmal, dass jeder Detektor eine neue Linie sieht.

Wenn man dabei, wie hier gezeigt, eine perfekte Ausrichtung von Linien und Pixeln erreichen kann, dann erscheinen die Linien in voller Auflösung ohne Unschärfe im aufgezeichneten Bild.
Now we refine the structure of our lines and make them so narrow that each detector sees a new line.

If one can achieve perfect alignment of lines and pixels, as shown here, then the lines appear in full resolution with no blur in the captured image.
Stacks Image 7189
Natürlich ist eine solche perfekte Ausrichtung reiner Zufall und kommt in der Praxis kaum jemals vor.

Schauen wir uns also einmal das andere Extrem an: Das Originalbild hat dieselbe Auflösung wie zuvor, ist jetzt aber um eine halbe Pixelbreite nach unten verschoben.
Nun erfasst jeder Detektor genau die Mitte zwischen einer hellen und einer dunklen Linie. Damit erkennen alle Detektoren nur noch ein mittleres Grau (128) und die Linienstruktur verschwindet im Ergebnis vollständig.
Of course, such a perfect alignment is pure chance and hardly ever occurs in practice.

So let's look again at the other extreme: The original image has the same resolution as before, but is now shifted by half a pixel width down.
Now each detector see the exact middle between a light and a dark line. As a result, all sensors detect a medium gray (128) and the line structure disappears completely.
Stacks Image 7198
Die Anschauung zeigt also auf einfache Weise, dass feine Strukturen nur dann durch den Bildsensor aufgenommen werden können, wenn sie mindestens die gleiche Größe wie die einzelnen Helligkeitssensoren (Pixel) haben.
Anders formuliert braucht man für die Aufnahme einer bestimmte Anzahl von schwarzen und weißen Linien mindestens genauso viele Pixel wie Linien. Oder doppelt so viele Pixel wie Linienpaare, weil ein Linienpaar die Kombination einer weißen und einer schwarzen Linie darstellt.

Und genau das ist die Nyquist-Grenze. Manchmal werden diese Zusammenhänge auch als Shannon'sches Abtasttheorem bezeichnet.

In der Realität benötigt man sogar noch einige Pixel mehr, denn man kann nicht davon ausgehen, dass die Linien des Originalbildes so wunderschön deckungsgleich zu den Helligkeitsdetektoren liegen wie in unserem zweiten Beispiel.

Für die Angabe von Linienpaaren pro Bildhöhe berechnet sich die vertikale Nyquist-Grenze aus der halben vertikalen Pixelanzahl eines Sensors, d.h. zwei Pixel pro Linienpaar.
Es ist offensichtlich, dass eine höhere Auflösung völlig undenkbar ist. Die Nyquist-Grenze ist also ein undurchdringbarer Anschlag. Höhere Auflösungen lassen sich weder heute noch irgendwann in fernster Zukunft mit noch so fortschrittlichen Sensoren messen. Das ist so sicher, wie 1 und 1 gleich 2 ist.

Und was passiert, wenn man noch feinere Strukturen auf den Sensor loslässt?
The view shows in a simple way that fine structures can only be seen by the image sensor, if they have at least the same size as the individual light detecting elements (pixels).
In other words one needs at least as many pixels as the number of black and white lines. Or twice as many pixels as line pairs, because a pair of lines represents the combination of a white and a black line.

And exactly that is the Nyquist limit. Sometimes these relationships are also known as the Shannon sampling theorem.

In reality, it even takes a few more pixels, for one can not assume that the lines of the original image are always so beautifully aligned with the sensor elements, as in our second example.

For the indication of line pairs per picture height (LP/PH), the vertical Nyquist limit is equal to half the number of vertical pixels of the sensor or 2 pixel per line pair.
It is obvious that a higher resolution is unthinkable. The Nyquist limit is an impenetrable fence. Higher resolutions can not be measured even by the most advanced sensors - neither now nor anytime in the distant future. This is as sure as 1 plus 1 equals 2.

And what happens when even finer structures hit the sensor?
Hier sieht man ein Beispiel was passieren kann, wenn Strukturen, die über der Nyquist-Grenze liegen auf einen Sensor treffen: Im aufgezeichneten Bild erscheinen tatsächlich wieder Linien!

Diese Linien ergeben sich aber rein zufällig und haben mit dem Originalbild nichts mehr zu tun. In unserem Fall werden aus 9 Linien im Originalbild nur 3 Linien in der Aufzeichnung, weil jede Originallinie zufällig zu einem bzw. zwei Dritteln über unterschiedlichen Detektoren liegt.
Bei leichter Verschiebung des Originals zum Sensor werden sich im aufgezeichneten Bild ganz andere Muster mit mehr oder weniger Linien einstellen. Diese sind aber alle falsche Abbildungen die das Originalbild nicht widerspiegeln.

Man bezeichnet diese Falschbilder als
Alias-Artefakte.

Sie sind die Ursache für Moiré und andere Bildfehler und daher äußerst unerwünscht.
Here we see an example of what can happen when structures above the Nyquist limit hit a sensor: There are again lines in the recorded image!

These lines are, however, random and have nothing to do with the original image. In our case, the nine lines of the original image generate only three lines in the recording, because each original line overlays different detectors randomly to one or two thirds.
A slight displacement of the original picture to the sensor will result in a very different pattern in the recorded image with more or less lines. But all of these are false recordings and do not reflect the original image.

These false images are known as
aliasing artifacts.

They are the cause of moire and other artifacts and therefore highly undesirable.
Stacks Image 7207
Um Alias-Artefakte zuverlässig zu vermeiden, gibt es nur einen Weg: Man muss man sicherstellen, dass keine feinen Strukturen jenseits der Nyquist Grenze auf den Sensor treffen. Also braucht man einen Tiefpass-Filter, auch Alias-Filter genannt. Lässt der Kamerahersteller diesen Filter weg, kommt es zwangsläufig zu solchen Bildfehlern.
To reliably avoid aliasing artifacts, there is only one way: you have to make sure that no structures smaller than the nyquist limit hit the sensor. So a low-pass filter is needed, also called aliasing filter. If the camera manufacturer leaves that filter off, image errors are inevitable.

Diagonale Linien und das Sinus-Stern Messverfahren
Es gibt Sensoren, deren Pixel nicht in waagerechten und senkrechten Reihen, sondern diagonal angeordnet sind (z.B. Fuji Super CCD). Außerdem ist es möglich, dass die Optik der Kamera dejustiert ist und bestimmte Richtungen bevorzugt.
Aus diesen Gründen ist es interessant zu untersuchen, was bei der Messung von diagonalen Linien passiert.

Diagonal Lines and the Sine-Star Measurement Procedure
Some sensors have pixel arrays that are not arranged in horizontal and vertical rows, but diagonally (for example Fuji Super CCD). It is also possible that the optics of a camera are out of adjustment and prefer certain directions.
For these reasons, it is interesting to examine what happens when diagonal lines are measured instead of vertical or horizontal lines.
Stacks Image 7274
Das Bild links zeigt am Beispiel unseres 6x6 Sensors, dass sich die erreichbare Auflösung in diagonaler Richtung nahezu verdoppelt!

Weil die Länge der Diagonale um Wurzel(2) (41%) größer ist als die Bildhöhe, ergibt sich eine um Wurzel(2) (41%) höhere Auflösung gemessen in Linienpaaren pro Bildhöhe (LP/BH).
Dementsprechend ist auch die Nyquist-Grenze in diagonaler Richtung um 41% höher als in vertikaler Richtung.
The picture on the left shows an example of our 6x6 sensor. The achievable resolution in the diagonal direction has nearly doubled!

Because the length of the diagonal is greater than its height by the square root of 2 (41%), the resolution measured in line pairs per picture height (LP/PH) is higher in diagonal direction by the square root of 2 (41%) as well.
The diagonal Nyquist limit is 41% greater than the vertical Nyquist limit accordingly.
Das Auflösungsvermögen eines Sensors ist also je nach Messrichtung unterschiedlich. Konventionelle Sensoren erreichen die höchste Auflösung in der Diagonalen und das Minimum in der Vertikalen bzw. Horizontalen. Bei Sensoren mit diagonal angeordneten Pixeln ist es umgekehrt. Die Auflösungen aller anderen Messrichtungen liegen irgendwo dazwischen.

Somit gibt es nicht nur eine einzige Nyquist-Grenze, sondern unterschiedliche je nach Messrichtung, wobei die Werte winkelabhängig zwischen 100% und 141% der vertikalen Grenzauflösung schwanken.
The resolution of a sensor is therefore different depending on the direction of measurement. Conventional sensors can achieve the highest resolution in the diagonal, and the minimum in the vertical or horizontal axis. For sensors with pixels arranged diagonally the opposite is true. The resolution of all other measurement directions is somewhere in between.

Thus, there is no single Nyquist limit, but different limits depending on the direction of measurement. The values ​​vary depending on the angle between 100% and 141% of the vertical resolution limit.
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Das von der Zeitschrift ColorFoto eingesetzte Messverfahren nutzen einen Siemens-Stern anstelle von Linienmustern zur Bestimmung der Auflösung eines Sensors (genannt "S-SFR").
Die Messung erfolgt entlang eines Kreises. Der Durchmesser des Kreises wird schrittweise so lange verkleinert, bis die einzelnen Strahlen des Sterns nicht mehr unterscheidbar sind.

Durch diese Messweise ergeben sich Auflösungswerte, die allen Himmelsrichtungen zugeordnet sind. Die Bestimmung der für einen kompletten Kreisumlauf gültigen Nyquist-Grenze erfolgt durch Integration der winkelabhängigen Einzelwerte.
The German test magazine uses a sine-star and a circular pixel path to test resolution (called "S-SFR" procedure). The diameter of the circle is reduced step by step until the individual stars are not resolved any more.
This procedure creates resolutions in all angular directions. The determination of the Nyquist-limit for a full circle can be performed by integration of the angular specific individual limiting resolutions.
So sieht die Messung nach dem S-SFR Verfahren dann im Detail aus:
Der Kontrast der grün gezeichneten Pixel wird ausgewertet, um die Auflösung zu bestimmen.
This is how the S-SFR test procedure look in detail:
The contrast of the green pixels is determined to calculate the resolution.
Stacks Image 7329

Genauere Untersuchungen ergeben die folgenden mittleren Grenzwerte für die Auflösungsmessung (also für das Nyquist-Limit):
  • 0,500 Zyklen pro Pixel: Für rein vertikale oder horizontale Messungen
  • 0,707 Zyklen pro Pixel: Für rein diagonale Messungen
  • 0,666 Zyklen pro Pixel: Für Messungen entlang einer Kreisbahn (S-SFR)

A more detailed analysis reveals the following limiting resolutions (the Nyquist-Limit):
  • 0.500 Cycles per pixel: For purely vertical or horizontal measurements
  • 0.707 Cycles per pixel: For purely diagonal measurements
  • 0.666 Cycles per pixel: For measurements along a circular path (S-SFR)
Auflösungsmessungen in ColorFoto
Jetzt kommen wir zurück zum Artikel "Ausnahme" in ColorFoto 4/2013 ab Seite 28 und analysieren, was da so alles falsch gelaufen ist.

Zunächst zur Aussage "Die Auflösungskurven schneiden die Nyquist-Linie auf einem hohen Level". Das ist, mit Verlaub, blanker Unsinn und steht auf einer Stufe mit der Behauptung, das Perpetuum-Mobile erfunden zu haben. Wie ausführlich begründet kann die Auflösung eines Sensors niemals höher sein als die Nyquist-Grenze.

In den Kontrastdiagrammen von ColorFoto wird die Nyquist-Grenze immer bei einer Auflösung von 0,5 Zyklen pro Pixel eingetragen, also bei der getesteten Leica M bei 3472 x 0,5 = 1736 LP/BH (Linienpaare pro Bildhöhe). Und das ist dann gleich der nächste Fehler. Wie wir gesehen haben ist die Auflösung eines jeden Sensors in diagonaler Richtung höher als in vertikaler und horizontaler Richtung. Im Mittel beträgt die Grenzauflösung des Sinus-Stern Messverfahrens wegen der kreisbahnförmigen Messung 0,666 Zyklen pro Pixel, also in diesem Fall 2312 LP/BH. Übrigens zieht sich diese falsche Angabe der Nyquist-Linie bei der Zeitschrift ColorFoto konsequent durch alle Tests der letzten Jahre.

Der dritte Fehler besteht darin, dass das von ColorFoto verwendete Sinus-Stern Messverfahren (auch S-SFR genannt) systematische Fehler produziert, wenn die Auflösung des getesteten Sensors nahe bei der Grenzauflösung liegt. Das kommt dadurch zustande, dass Alias-Artefakte von diesem Messverfahren nicht unterdrückt werden sondern voll zu einer angeblichen Kontraststeigerung beitragen. Man sollte bemerken, dass das Sinus-Stern Messverfahren relativ neu und bisher wenig verbreitet ist. Das ältere und weithin anerkannte Schwarzkeil-Messverfahren (auch Slanted Edge oder E-SFR genannt) zeigt diese Fehler nicht. Die wesentlichen Ergebnisse sind in der Grafik unten wiedergegeben. Dort sieht man, dass das Sinus-Stern Messverfahren (S-SFR) ab rund 0,45 Zyklen pro Pixel systematisch viel zu hohe Werte abliefert. Im vorliegenden Test der Zeitschrift ColorFoto wurden für die Leica M 2083 LP/BH, also 2083 / 3472 = 0,60 Zyklen pro Pixel ermittelt. Die Grafik zeigt, dass dieser Wert bereits weit im Land der Phantasie liegt. Den zu dieser Messung passenden, realen Auflösungswert kann man im Diagramm bei rund 0,45 bis 0,50 Zyklen pro Pixel ablesen, also bei rund 1650 LP/BH. Er ist damit etwa 20% niedriger als der angegebene Wert.

Und das führt uns gleich zum vierten Fehler des ColorFoto Artikels. Da wird die Leica M nämlich mit der Hasselblad H4D-40 verglichen. Dieser Mittelformatkamera wurde in ColorFoto Ausgabe 07/2010 eine Auflösung von 2739 LP/BH attestiert. Diese Messung liegt mit 2739 / 5478 = 0,50 Zyklen pro Pixel noch im halbwegs realistischen Bereich des Sinus-Stern Verfahrens und muss nur um knapp 10% nach unten korrigiert werden (auf rund 0,45 Zyklen pro Pixel = 2500 LP/BH, siehe Grafik).
Warum dann aber in Ausgabe 4/2013 behauptet wird, die Leica M wäre "schärfer und brillianter" als die Hasselblad, welche effektiv rund 2500 / 1650 = 50% mehr Auflösung bietet, ist völlig unverständlich. Vielleicht sollte da mal jemand lernen, einen RAW-Konverter richtig zu bedienen...

Ich habe übrigens den Redakteur des fraglichen Artikels kontaktiert und später auch Kontakt mit einem Ingenieur des Prüflabors gehabt. Man akzeptiert, dass Auflösungen oberhalb der Nyquist-Grenze nicht möglich sind und der fragliche Satz Unsinn ist. Darüber hinaus will man nichts weiter ändern. Irgendwelche technische Erwiderungen auf meine Kritik an der falschen Berechnung der Nyquist Grenze oder den systematischen Fehlern des Messverfahren hat man nicht.
ColorFoto resolution measurements
Now lets return to the magazine article "Ausnahme" in ColorFoto issue 4/2013 pp. 28 and analyze, what went wrong.

First, the statement "The resolution curves intersect the Nyquist limit at a high level." That is, with respect, nonsense and on a par with the claim to have invented the perpetual mobile. As already discussed in detail, the resolution of a sensor can never exceed the Nyquist limit.

In the contrast charts published by ColorFoto the Nyquist limit is always given at a resolution of 0.5 cycles per pixel, for example the limit of the Leica M was given at 3472 x 0.5 = 1736 LP/PH (line pairs per picture height). And that is already the next error. As we have seen, the resolution of each sensor is higher in diagonal direction than in the vertical and horizontal direction. On average, the limiting resolution of the sine-star measurement method is 0.666 cycles per pixel due to the circular measurement. So in this case, the limit is 2312 LP/PH. Incidentally, the magazine ColorFoto uses this incorrect calculation of the Nyquist line consistently through all tests in recent years.

The third error is that the sine-star measurement (also called S-SFR) method of ColorFoto produces systematic measurement errors when the resolution of the tested sensor is close to the resolution limit. This comes from the fact that aliasing artifacts are not suppressed by this measurement method. Instead, they fully contribute to an alleged increase in contrast. It should be noted that the sine star measuring method is relatively new and has been little used so far. The older and widely respected black wedge measuring method (also called Slanted Edge or e-SFR) does not show this error. The graph below demonstrates how the sine-star measurement method (S-SFR) systematically delivers too high values from about 0.45 cycles per pixel. In the test of the magazine Color Foto, 2083 / 3472 = 0.60 cycles per pixel were determined for the Leica M camera. The graph shows clearly that this value is already far in the land of dreams. The true resolution value can be found in the graph at around 0.45 to 0.50 cycles per pixel, i.e. around 1650 LP/BH. It is about 20% lower than the specified value.

And that leads us right to the fourth error of the ColorFoto article. The Leica M was compared to the Hasselblad H4D-40th. This medium format camera was certified a resolution of 2739 LP/PH in another ColorFoto article (in issue 07/2010). This measurement of 2739 / 5478 = 0.50 cycles per pixel is still in the reasonably realistic range of the sine-star procedure. It only needs a slight correction just under 10% to around 0.45 cycles per pixel = 2500 LP/PH, see below.
Why ColorFoto claims in issue 4/2013, the Leica M would give "sharper and more brilliant" pictures than the Hasselblad, which effectively provides around 2500/1650 = 50% more resolution, is a complete mystery. Perhaps someone of the editorial staff should learn to properly operate a RAW converter ...

Incidentally, I have contacted the editor of the article in question and later also had contact with an engineer of the test laboratory. They accept that resolutions above the Nyquist limit are not possible and the sentence in question is nonsense. In addition, they didn't what to change anything else. Any technical responses to my criticism of the incorrect calculation of the Nyquist limit or the systematic errors of the measurement procedure were not given.
Vergleich des Siemens-Stern Messverfahrens (S-SFR) mit den Ergebnissen der Schwarzkeilmessung (E-SFR) und visueller Analyse der beobachtbaren Auflösung.
Idealerweise sollten alle drei Verfahren Messpunkte auf der diagonalen schwarzen Linie ergeben. Beim E-SFR Verfahren (blaue Punkte) kommt das auch ganz gut hin.
Man erkennt jedoch, dass das S-SFR Verfahren (orange Punkte) ab rund 0,45 Zyklen pro Pixel systematisch viel zu hohe Ergebnisse liefert. Das liegt daran, dass das S-SFR Verfahren fälschlicherweise Alias-Artefakte als reale Auflösung interpretiert. Beim E-SFR Verfahren passiert das nicht - im Gegensatz zum Sinus-Stern erzeugt ein Schwarzkeil bei Unterabtastung keine Alias-Artefakte.
Im Grenzbereich kann das S-SFR Verfahren daher Werte bis zu knapp einem Zyklus pro Pixel "messen". Das bedeutet, dass ein einzelner Pixel eine schwarze und gleichzeitig eine weiße Linie aufzeichnen können sollte, was vollkommener Blödsinn ist.

Mehr Details zu den Fehlern des verwendeten Messverfahrens finden sich in
diesem Artikel.
Comparison of the Sine-Star Measurement (S-SFR) with Slanted-Edge Measurement (E-SFR) and Visual Observation.
Ideally, all three procedures should give measurement results along the diagonal black line and the E-SFR procedure (blue dots) performs quite well.
Unfortunately, the S-SFR procedure (orange dots) systematically overshoots at measurement values of 0,45 cycles per pixel and higher. The reason is that the S-SFR procedure misinterprets aliasing artifacts as real resolution. This doesn't happen with the E-SFR method. In contrast to the sine-star, a slanted edge does not produce aliasing artifacts when under-sampled.
At its limit, the S-SFR procedure can "measure" values values up to nearly one cycle per pixel. In other words, one single pixel should be able to record a black and a white line at the same time, which is obviously a complete nonsense.

More on the errors of the S-SFR procedure in
this paper.
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